International Mathematics Competition

Sea una matriz real tal que .

1. Prueba que existe una única matriz real que satisface la ecuación
2. Expresa en términos de .

Sea un entero positivo. Calcula el número de palabras (sucesiones finitas de letras) que satisfacen las siguientes tres propiedades:

1. tiene letras, todas del abecedario .
2. tiene un número par de letras .
3. tiene un número par de letras .

(Por ejemplo, para , hay seis palabras de este estilo: , , , , y )

Sean y matrices reales tales que donde es la matriz identidad . Prueba que

Evaluar el producto

Un número de cuatro cifras es denominado muy bueno si el siguiente sistema de ecuaciones en las variables , , y tiene al menos dos soluciones: Encuentra todos los números muy buenos del siglo XXI (es decir, desde hasta , ambos inclusive).

Determina si existe algún número natural impar y dos matrices de entradas enteras y que satisfacen las siguientes condiciones:

1. .
2. .
3. .

Sea el conjunto de los números compuestos enteros positivos. Para cada , sea el menor número tal que es divisible entre . Determina si la siguiente serie converge:

Sean y dos sucesiones de números positivos. Demuestra que los siguientes enunciados son equivalentes.

1. Existe una sucesión de números positivos tal que y son convergentes.
2. converge.

Sea una función continua tal que existe (puede ser finito o infinito). Prueba que

Sean y dos matrices reales simétricas con todos sus autovalores estrictamente mayores que . Sea un autovalor de . Probar que .

Sea un número complejo tal que . Demuestra que .

Sea un número natural. Determina el mínimo rango posible de una matrix que tiene ceros en todas las posiciones la diagonal principal y números positivos en las demás posiciones.

Sea . Prueba que:

Sea una función continua tal que para cualquier , la gráfica de se puede mover a la gráfica de con una rotación o traslación. ¿Implica esto que , con ?

Sea una función real. Demostrar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Si es continua y también , entonces es monótona.
2. Si es monótona y también , entonces es continua.
3. Si es continua y monótona, entonces .

Sea una matriz tal que sus entradas , siendo y los índices de fila y columna, respectivamente. ¿Cuál es el rango de ?

Sea una función tal que es un polinomio para todo . Entonces, ¿se cumple que es un polinomio?

Sea una matriz real de tamaño y otra matriz real de tamaño tales que: Hallar .

Sean funciones continuas y no decrecientes tales que para cada se tiene que y que . Prueba que

Sean y dos matrices cuadradas complejas del mismo tamaño tales que . Demuestra que .

Suponga que en un anillo no necesariamente conmutativo, el cuadrado de cualquier elemento es . Demuestra que para cualesquiera tres elementos de .